ГДЗ 6 класс Математика Зубарева И. И, Мордкович А. Г. ФГОС

Главная » Статьи » ГДЗ 6 класс Математика Зубарева И. И, Мордкович А. Г. ФГОС

ГДЗ 6 класс Математика Зубарева И. И, Мордкович А. Г. ФГОС

ГДЗ 6 класс Математика Зубарева И.И., Мордкович А.Г. ФГОС

ГДЗ к рабочей тетради по математике за 6 класс Зубарева И.И. можно открыть здесь.

ГДЗ к самостоятельным работам по математике за 6 класс Зубарева И.И. можно открыть здесь.

ГДЗ к сборнику задач и упражнений по математике за 6 класс Гамбарин В.Г. можно открыть здесь.

ГДЗ к рабочей тетради по математике за 6 класс Ерина Т.М. можно открыть здесь.

ГДЗ к контрольным работам по математике за 6 класс Зубарева И.И. можно открыть здесь.

Номера задач. Решения к разделу

Контрольные вопросы. Решения к разделу

Домашние контрольные работы. Решения к разделу

работа 1

работа 2

работа 3

работа 4

работа 5

работа 6

работа 7

работа 8

ГДЗ по математике 6 класс Зубарева, Мордкович – ответы и решебник.

Математика, недаром ее называют прародительницей всех наук. Многие ее положения лежат в основе большинства естественных дисциплин, к числу которых относится и астрономия, и биология, и физика, и химия, и информатика. Чего стоит одна лишь таблица квадратов натуральных чисел, запомнить значения которой не так-то просто. Да и зачем запоминать?

Решебник по математике за 6 класс Зубарева, Мордкович

Учителя и родители, бабушки и дедушки – все вокруг твердят, что образование – залог успеха. Но кто сказал, что в процессе достижения своей цели использовать гдз по математике за 6 класс Зубарева – запрещено? Разве это не проще, чем провести вечер в обнимку с информационными справочниками и прочей научной литературой, в то время как все остальные ребята отдыхают и веселятся на улице? Используя решебник математика 6 класс Зубарева, Мордкович, юный шестиклассник не только не получит двойки за невыполненную домашнюю работу, но и с успехом блеснет смекалкой, справившись даже с самыми сложными заданиями.

Только представьте, больше никаких зловредных одноклассниц, дающих списать домашнюю работу исключительно за шоколадку или чупа-чупс, никаких длительных и угнетающих монологов учителей, никаких плохих отметок и скандалов с родителями, ответы по математике 6 класс Зубарева, Мордкович – вот решение всех проблем.

И самый главный секрет – как правило, сборником готовых домашних заданий пользуется большинство школьных учителей, да, именно учителей, целью которых является выявление альтернативных способов решения тех или иных математических задачек. И если вдруг Вам повезет, и списанный алгоритм окажется неизвестным преподавателю, лавры победы – Ваши! Только представьте, всего 15 минут, и благосклонное отношение учителя перестало принадлежать выскачке-ботанику, купающемуся в лучах славы, теперь оно на Вашей стороне. С решебником жизнь станет куда проще!

ГДЗ решебник по математике 6 класс Зубарева, Мордкович учебник Мнемозина

Математика - один из самых занимательных, но сложных предметов. Именно поэтому очень часто у большинства школьников возникают трудности с усвоением материала по этой дисциплине. В шестом классе проходят достаточно непростые темы: уравнения, пропорции, степени. Времени на уроке не всегда хватает, чтобы понять материал, а дома родители иногда не могут прийти на помощь. В итоге – у ребенка ненужные переживания и стресс. Чтобы этого не случилось, стоит обратиться к «ГДЗ математика 6 класс ФГОС Зубарева, Мордкович Мнемозина».

Как устроен онлайн-решебник

Пособие разработано профессиональными методистами и репетиторами таким образом, чтобы шестиклассник с любым уровнем знаний смог им воспользоваться. Добавим список следующих достоинств:

круглосуточный онлайн-доступ с телефона, планшета или ноутбука;
удобная навигационная линейка для поиска нужного параграфа или темы;
охватывает всю программу за шестой класс;
отмечен только положительными отзывами пользователей;
только верные ответы и корректно построенный задачи.

Так же стоит отметить, что «ГДЗ математика 6 класс ФГОС И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович Мнемозина» составлен в соответствии со всеми требованиями и стандартами ФГОС.

Как пользоваться учебником

В среде родителей и учителей бытует расхожее мнение о том, что справочники с готовыми домашними заданиями очень вредны и поощряют в учащихся только механическое списывание. Но эта точка зрения является ошибочной. Чтобы получить хороший результат от книги под редакцией Зубаревой, нужно действовать по следующему алгоритму:

Первоначально необходимо самостоятельно решить все заданное на дом.
Только после этого разрешается сверить свои ответы с верными ключами.
В конце стоит исправить имеющиеся ошибки и не допускать их вновь.

Только занимаясь таким образом, можно взять из сборника от редакции Мнемозина по максимуму пользы.

Для кого разработано пособие

Не стоит думать, что решебником от Зубарева и Мордковича может воспользоваться только шестиклассник с проблемами в учебе. Отличникам книга пригодится в подготовке к сложным контрольным и самостоятельным работам. Школьникам, пропустившим урок в результате болезни, сборник поможет усвоить темы и догнать сверстников. Преподаватели подчерпнут для себя много новых и интересных упражнений, разнообразив тем самым учебный процесс. А мамы и папы освежат в голове школьную программу и наконец перестанут переживать за своих чад.

Домашние задания по математике 6 класс зубарева и мордкович: ГДЗ (решебник) по математике 6 класс Зубарева, Мордкович

Решебник по Математике для 6 класса Зубарева И.И. ГДЗ

авторы: Зубарева И.И., Мордкович А.Г..

ГДЗ к сборнику задач и упражнений по математике за 6 класс Гамбарин В.Г. можно скачать здесь.

ГДЗ к рабочей тетради по математике за 6 класс Ерина Т.М. можно скачать здесь.

Пособие «ГДЗ по математике за 6 класс» авторов Мордкович и Зубаревой, разработано для школьников общеобразовательных учебных заведений. Содержит в себе подробное описание и алгоритм решения задач и упражнений. Учебник разбит на параграфы, каждый из которых поделен на задания, полностью соответствующие школьной программе. Данное издание позволит без посторонней помощи разобраться в домашней работе и выполнить ее на оценку «отлично». Занимаясь с книгой ребенок научится разбираться в математических действиях и подготавливаться к самостоятельным работам. Основным преимуществом решебника является то, что он будет одинаково полезен, как ученикам, так и их родителям. С его помощью взрослым не придется часами сидеть над заданным упражнением, пытаясь безуспешно объяснить, как нужно решать. Используя пособие можно будет без труда объяснить последовательность выполнения, оценить правильность уже выполненного задания и устроить своему ребенку домашние проверочные работы, для того чтоб он был всегда готов к урокам. Работая с «ГДЗ по математике за 6 класс» Зубаревой и Мордковича можно научится решать задания, даже если на уроке не понял новые правила.

ГДЗ по Математике за 6 класс Зубарева И.И., Мордкович А.Г. ФГОС 2016

11 Класс

Русский язык
Английский язык
Немецкий язык
Математика
Алгебра
Геометрия
Физика
Химия

Математика. 6 класс. Учебник. Зубарева И.И., Мордкович А.Г.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие для учителя 4
Глава I. Положительные и отрицательные числа. Координаты
§ 1. Поворот и центральная симметрия 5
§ 2. Положительные и отрицательные числа. Координатная прямая— 14
§ 3. Модуль числа. Противоположные числа 22
§ 4. Сравнение чисел 30
§ 5. Параллельность прямых 36
§ 6. Числовые выражения, содержащие знаки +, — 43
§ 7. Алгебраическая сумма и ее свойства 51
§ 8. Правило вычисления значения алгебраической суммы двух чисел 58

Решебник по математике для 6 класса к учебнику Зубаревой И. И., Мордкович А.Г.

Автор Administrator На чтение 2 мин. Опубликовано 13.04.2016

Вид пособия, придуманный родителям в помощь, стал востребованным и у школьников, и у педагогов. Речь идет о решебниках, в данном случае – к учебнику для шестиклассников Зубаревой И.И. Проверить уроки быстро, значит сэкономить силы и время для дополнительных занятий или досуга. Решебник освобождает учительское время для более важных задач – например, подготовки к уроку.

Решебник предоставляет не только перечень верных ответов, а и пояснения-инструкции к ним. Таким образом, можно с точностью выявить проблемное место и разобрать его повторно до полного усвоения материала. Решения сопровождаются рисунками, схемами, чертежами (где необходимо).

Решебник по математике для 6 класса к учебнику Зубаревой И.И., Мордкович А.Г. структурирован также, как и учебная книга. Нумерация, темы и их порядок изложения, все это соответствует основной части УМК – учебнику. В конце пособия доны ответы к приложению, домашним контрольным.

Книга помогает в воспитании у шестиклассников самостоятельности и ответственности. Дети заканчивают формирование личных навыков – самопроверки, – и это дает самый положительный эффект при решении контрольных, самостоятельных, итоговых.

Издательство: Экзамен
Год издания: 2012
Автор: Смирнов С.В.
Формат: PDF
Количество страниц: 223
Язык: Русский

Скачать бесплатно matematika_gdz_zubareva_mordkovich_6_klass_uchebnik. pdf

ГДЗ по математике 6 класс — Зубарева И.И., Мордкович А.Г. контрольные задания

ГДЗ по математике 6 класс — Зубарева И.И., Мордкович А.Г. контрольные задания — Все, для развития Вашего ребенка от сайта Tavr-obrazovanie.ru

Если Вы нашли то, что искали, пожалуйста добавьте нас в закладки, этим Вы поможете развитию сайта, нажав на кнопку Поделиться

Скачать бесплатно Алгебра

Прежде чем начать действия с данным материалом ГДЗ по математике 6 класс — Зубарева И. И., Мордкович А.Г. контрольные задания ознакомьтесь с его описанием, обязательно посмотрите, какие ссылки Вам предлагают для скачивания материала. На сайте в основном размещены ссылки на бесплатные серверы. Если возникли проблемы с материалом «не рабочая ссылка, файл не соответствует названию», отправьте нам письмо по «Обратная связь» и Мы в течении двух суток удалим материал с сайта или заменим ссылку. Этим Вы поможете другим пользователям.

Огромное Спасибо за понимание, всего Вам наилучшего.

Уважаемые посетитель, оставляйте комментарии к материалу, не стесняйтесь.

Скачать Алгебра без смс

Математика 6 Зубарева — Рудницкая

Контрольные работы по математике 6 класс (УМК Зубарева и др. )

Математика 6 Зубарева — Рудницкая. Контрольные работы (цитаты) из пособия для учащихся «Дидактические материалы по математике 6 класс к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича» (авт. В.Н. Рудницкая, изд-во «Экзамен», 2014), которое используется в комплекте с учебником «Математика 6 класс» авторов: И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.

Цитаты из вышеуказанного учебного пособия использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ): цитаты переработаны в удобный формат (каждая работа на 1-й странице), что дает экономию денежных средств учителю и образовательному учреждению в использовании бумаги и ксерокопирующего оборудования.

При постоянном использовании контрольных работ в 9 классе рекомендуем купить книгу: Виктория Рудницкая: Математика. 6 класс. Дидактические материалы к учебнику И.И.Зубаревой, А.Г.Мордковича. ФГОС, в которой кроме контрольных работ есть еще 36 самостоятельных работ по 4 варианта (ответов в пособии нет), а также набор задач и упражнений развивающего характера. Материалы пособия также могут быть использованы в работе с шестиклассниками, обучающимися по учебникам математики других авторов в школах любого типа.

Для увеличения изображения — нажмите на картинку !
Чтобы скачать работу — нажмите на правую кнопку мыши и выберите «Сохранить изображение как …»

Контрольная работа № 1.
Рациональные числа. Сложение и вычитание

Контрольная работа № 2.
Параллельные прямые. Осевая симметрия

Контрольная работа № 3.
Умножение и деление положительных и отрицательных чисел

Математика 6 Зубарева — Рудницкая. Контрольная работа 3

Контрольная работа № 4.
Умножение и деление обыкновенных дробей

Контрольная работа № 5. Раскрытие скобок. Решение уравнений

Контрольная работа № 6. Длина окружности и площадь круга

Контрольная работа № 7. Делимость натуральных чисел

Контрольная работа № 8. Признаки делимости

Контрольная работа № 9.
Простые и составные числа. Разложение числа на простые множители

Контрольная работа № 10.
Пропорции. Решение задач с помощью пропорций

Контрольная работа № 11. ИТОГОВАЯ за 6 класс

Вы смотрели Математика 6 Зубарева — Рудницкая. Контрольные работы (цитаты) из пособия для учащихся «Дидактические материалы по математике 6 класс к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича» (авт. В.Н. Рудницкая, изд-во «Экзамен», 2014)

Deoma — Продукты — Алгебра

Электронный учебник «Интерактивная математика» для 6 класса предназначен для использования возможности компьютера в обучении математике в 6 классе. Ты можешь выбрать конфигурация электронного учебника, соответствующая печатному учебник, который прилагает учитель. Адаптация электронного учебника предусмотрены печатные книги авторов: Виленкина, Зубарева и Мордковича, Шарыгин. Электронное приложение включает интерактивные разработки для обучение основам математики, в частности, таким темам как: целые числа и отрицательные целые числа, делимость, пропорции, десятичные дроби, основы выражений упрощение, координатная линия, координатная плоскость, понятие математической модель; используются математические игры.

Последняя версия продукта от 12 августа 2015 г .:

Скачать «Интерактивная математика» 6 класс v1.4.3.21 для Windows

Снимки экрана программы перечислены ниже.

Рисунки можно увеличивать ↓

Версия 1.4.3.21 от 12 августа 2015 (последняя)

Показать предыдущие версии

Версия 1.4.3.20 от 11 августа 2015 г.

Версия 1.4.3.19 от 11 августа 2015 г.

Версия 1.4.3.18 от 17 ноября 2012 г.

Версия 1.4.3.17 от 9 октября 2011 г.

Версия 1. 4.3.16 от 28 июня 2011 г.

Версия 1.4.3.15 от 6 мая 2011

Версия 1.4.3.14 от 18 апреля 2011

Версия 1.4.3.12 от 23 января 2011

Версия 1.4.3.11 от 4 января 2011

Версия 1.4.3.10 от 4 ноября 2010 г.

Версия 1.4.3.9 от 4 ноября 2010 г.

Версия 1.4.3.8 от 5 сентября 2010 г.

Версия 1.4.3.7 от 5 сентября 2010

Версия 1.4.3.6 с 24 августа 2010 г.

Версия 1.4.3.5 с 16 августа 2010 г.

Версия 1.4.3.4 с 13 июня 2010 г.

Версия 1.4.3.3 от 10 мая 2010 г.

Версия 1.4.3.2 от 10 мая 2010 г.

Версия 1.4.3.0 от 23 марта 2010 г.

Версия 1.4.2.0 от 17 марта 2010

Версия 1.4.1.0 от 1 марта 2010 г.

Версия 1.4.0.0 от 20 февраля 2010 г.

Версия 1.3.15.0 от 10 февраля 2010 г.

Версия 1.3.14 от 4 февраля 2010 г.

Версия 1.3.13 от 10 января 2010 г.

Версия 1.3.12 от 5 января 2010 г.

Версия 1.3.11 от 25 декабря 2009 г.

Версия 1.3.10 от 24 декабря 2009 г.

Версия 1.3.9 от 15 декабря 2009 г.

Версия 1.3.8 от 14 декабря 2009 г.

Версия 1.3,6 от 11 октября 2009 г.

Версия 1.3.5 от 9 октября 2009 г.

Версия 1.3.4 от 2 октября 2009 г.

Версия 1.3.3 от 27 сентября 2009 г.

Версия 1.3.2 от 20 сентября 2009 г.

Версия 1.3.1 от 13 сентября 2009 г.

Версия 1.3.0 от 25 августа 2009 г.

Версия 1. 0,2 из 12 апреля 2009 г.

Версия 1.0.1 из 16 марта 2009 г.

Скрыть предыдущие версии

Домашнее задание: 3 класс по математике

Щиток приборов

Математика 3 класс

Мой Dashboard

3 класс Математика

Страницы

Домашнее задание

Дискретная математика: Домашнее задание 7, решение. Срок:

1 EE 2060 Дискретная математика весна 2011 Дискретная математика: домашнее задание 7 Решение Срок сдачи: Пусть an = 2 nn для n = 0, 1, 2, … (a) (2%) Найдите 0, a 1, a 2, a 3 и a 4. (b) (2%) Покажите, что a 2 = 5a 1 6a 0, a 3 = 5a 2 6a 1 и a 4 = 5a 3 6a 2.(c) (3%) Покажите, что an = 5a n 1 6a n 2 для всех целых чисел n с n 2. (a) Мы просто подставляем n = 0, n = 1, n = 2, n = 3 и n = 4. Таким образом, мы имеем a 0 = = 6, a 1 = = 17, a 2 = = 49, a 3 = = 143 и a 4 = = 421. (b) Используя наши данные из части (a), мы видим, что 49 =, 143 = и 421 = (c) Это алгебра. Самая беспорядочная часть — это факторизация большой степени 2 и большой степени 3. Если мы заменим n 1 на n в определении, мы получим n 1 = 2 n n 1; аналогично an 2 = 2 nn 2. Начнем с правой части желаемого тождества: 5a n 1 6a n 2 = 5 (2 nn 1) 6 (2 nn 2) = 2 n 2 (10 6) + 3 n 2 (75 30) = 2 nn = 2 n + 3 n 5 = an 2.(a) (6%) Найдите рекуррентное соотношение для количества битовых строк длины n, содержащих три последовательных нуля. (б) (1%) Каковы начальные условия?

2 (c) (2%) Сколько битовых строк длиной семь содержат три последовательных нуля? (a) Пусть a n будет количеством битовых строк длины n, содержащих три последовательных 0 s. Чтобы построить битовую строку длины n, содержащую три последовательных 0 s, мы могли бы начать с 1 и следовать за строкой длины n 1, содержащей три последовательных 0 s, или мы могли бы начать с 01 и следовать за строкой длины n 2, содержащий три последовательных 0, или мы могли бы начать с 001 и следовать за строкой длины n 3, содержащей три последовательных 0, или мы могли бы начать с 000 и следовать любой строкой длины n 3.Эти четыре случая являются взаимоисключающими и исчерпывают возможности того, как строка может начинаться. Из этого анализа мы можем сразу записать рекуррентное соотношение, действительное для всех n 3: an = an 1 + an 2 + ann 3. (b) Нет битовых строк длины 0, 1 или 2, содержащих три последовательных 0 s. , поэтому начальные условия: a 0 = a 1 = a 2 = 0 (c) Мы будем вычислять от 3 до 7, используя рекуррентное соотношение: a 3 = a 2 + a 1 + a = = 1 a 4 = a 3 + a 2 + a = = 3 a 5 = a 4 + a 3 + a = = 8 a 6 = a 5 + a 4 + a = = 20 a 7 = a 6 + a 5 + a = = 47 Таким образом, есть 47-битные строки длиной 7, содержащие три последовательных 0 с.3. (a) (6%) Найдите рекуррентное соотношение для количества способов подняться по n ступеням, если человек, поднимающийся по лестнице, может подниматься по одной, двум или трем ступеням за раз. (б) (1%) Каковы начальные условия? (c) (2%) Сколько способов может этот человек подняться по восьмиместному пролету?

3 (a) Пусть n будет количеством способов подняться по n лестницам. Чтобы подняться по n ступеням, человек должен либо начать с шага в одну ступеньку, а затем подняться по n 1 ступеням, либо начать с шага в две ступени, а затем подняться по n 2 ступеням, либо начать со ступени в три ступени, а затем подняться по 3 ступенькам.Из этого анализа мы можем сразу записать рекуррентное соотношение, действительное для всех n 3: an = an 1 + an 2 + an 3. (b) Начальные условия: a 0 = 1, a 1 = 1, a 2 = 2. , поскольку есть один способ подняться без лестницы, очевидно, только один способ подняться по одной лестнице и два способа подняться по двум ступеням. (c) Каждый член в нашей последовательности является суммой трех предыдущих членов, поэтому последовательность начинается с a 0 = 1, a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 4, a 4 = 7, a 5 = 13, a 6 = 24, a 7 = 44, a 8 = 81. Таким образом, человек может подняться по 8 лестничному маршу 81 способом в соответствии с ограничениями в этой задаче.4. Строка, содержащая только нули, единицы и двойки, называется тернарной строкой. (a) (6%) Найдите рекуррентное соотношение для количества троичных строк, содержащих два последовательных нуля. (б) (1%) Каковы начальные условия? (c) (2%) Сколько троичных строк длиной шесть содержат два последовательных нуля? (a) Пусть a n будет количеством троичных строк, содержащих два последовательных нуля. Чтобы построить такую строку, мы могли бы начать с 1 или 2 и следовать за строкой, содержащей два последовательных 0, или мы могли бы начать с 01 или 02 и следовать за строкой, содержащей два последовательных 0, мы могли бы начать с 00 и следовать любой троичной цепочкой длины n 2.Следовательно, рекуррентное соотношение, действительное для всех n 2, имеет вид an = 2a n 1 + 2a nn 2. (b) a 0 = a 1 = 0 (c) Мы вычислим от 2 до 6, используя рекуррентное соотношение: a 2 = 2a 1 + 2a = 1

4 a 3 = 2a 2 + 2a = 5 a 4 = 2a 3 + 2a = 21 a 5 = 2a 4 + 2a = 79 a 6 = 2a 5 + 2a = 281 Таким образом, имеется 281 битовая строка длиной 6, содержащая два последовательных 0 с. 5. Решите эти рекуррентные соотношения вместе с заданными начальными условиями (a) (3%) a n = 7a n 1 10a n 2 для n 2, a 0 = 2, a 1 = 1. (b) (3%) an = 2a n 1 an 2 для n 2, a 0 = 4, a 1 = 1. (c) (3%) an = 6a n 1 9a n 2 для n 2, a 0 = 3, a 1 = 3. (a) r 2 7r + 10 = 0 r = 2, 5 an = α 1 2 n + α 2 5 n 2 = α 1 + α 2 1 = 2α 1 + 5α 2 α 1 = 3, α 2 = 1 an = 3 2 n 5 n (б) r 2 2r + 1 = 0 r = 1, 1 an = α 1 1 n + α 2 n1 n 4 = α 1 1 = α 1 + α 2 α 1 = 4, α 2 = 3 an = 4 3n (c) r 2 + 6r + 9 = 0 r = 3, 3 an = α 1 (3) n + α 2 n (3) n 3 = α 1 3 = 3α 1 3α 2 α 1 = 3, α 2 = 2 an = (3 2n) (3) n

5 6.(4%) Найдите решение an = 5a n 2 4a n 4 с a 0 = 3, a 1 = 2, a 2 = 6 и a 3 = 8. Характеристическое уравнение r 4 5r = 0. Этот множитель равен (r 2 1) (r 2 4) = (r + 1) (r 1) (r 2) (r + 2) = 0, поэтому корни равны 1, 1, 2, 2. Следовательно, общее решение является = α 1 + α 2 (1) n + α 3 2 n + α 4 (2) n. Подстановка начальных условий дает 3 = α 1 + α 2 + α 3 + α 4, 2 = α 1 α 2 + 2α 3 2α 4, 6 = α 1 + α 2 + 4α 3 + 4α 4 и 8 = α 1 α 2 + 8α 3 8α 4. Решение этой системы уравнений: α 1 = α 2 = α 3 = 1 и α 4 = 0. Следовательно, ответ будет n = 1 + (1) n + 2 n. 7. (5%) Решите рекуррентное соотношение an = 6a n 1 12a n 2 + 8a n 3 с a 0 = 5, a 1 = 4 и a 2 = 88. Характеристическое уравнение r 3 6r r 8 = 0 По критерию рационального корня возможные рациональные корни равны ± 1, ± 2, ± 4. Получаем, что r = 2 — корень. Разделив r 2 на r 3 6r 2 + 12r 8, находим, что r 3 6r 2 + 12r 8 = (r 2) 3. Следовательно, единственный корень равен 2 с кратностью 3, поэтому общее решение (по теореме 4 ) an = α 1 2 n + α 2 n2 n + α 3 n 2 2 n. Подставляя начальные условия: 5 = a 0 = α 1 4 = a 1 = 2α 1 + 2α 2 + 2α 3 88 = a 2 = 4α 1 + 8α α 3 Решая эту систему уравнений, имеем α 1 = 5, α 2 = 1/2 и α 3 = 13/2.Следовательно, ответ будет an = 5 2 n + (n / 2) 2 n + (13n 2/2) 2 n = 5 2 n + n 2 nn 2 2 n (2%) Каков общий вид решений линейное однородное рекуррентное соотношение, если его характеристическое уравнение имеет корни 1, 1, 1, 2, 2, 5, 5, 7. Мы можем записать общее решение, используя теорему 4 из раздела 7.2. В этом случае имеется четыре различных корня, поэтому t = 4. Кратности равны 3, 2, 2 и 1. Таким образом, общее решение: an = (α 1,0 + α 1,1 n + α 1,2 n 2) (1) n + (α 2,0 + α 2,1 n) 2 n + (α 3,0 + α 3,1 n) 5 n + α 4,0 7 n.9. Рассмотрим неоднородное линейное рекуррентное соотношение a n = 2a n n (a) (2%). Покажем, что a n = n2 n является решением этого рекуррентного соотношения.

6 (b) (2%) Используйте теорему 5 из раздела 7.2, чтобы найти все решения этого рекуррентного соотношения. (c) (2%) Найдите решение с a 0 = 2. (a) Вычислим правую часть рекуррентного соотношения: 2 (n 1) 2 nn = (n 1) 2 n + 2 n = n2 n, которая является левой частью.(b) Решение ассоциированного однородного уравнения a n = 2a n 1 легко найти как a n = α2 n. Следовательно, общее решение неоднородного уравнения есть n = α2 n + n2 n. (c) Подставляя a 0 = 2, получаем α = 2. Следовательно, решение имеет вид an = 2 2 n + n2 n = (n + 2) 2 n 10. Каков общий вид частного решения, которое гарантированно существует? по теореме 6 линейного неоднородного рекуррентного соотношения an = 6a n 1 12a n 2 + 8a n 3 + F (n), если (a) (2%) F (n) = 2 n (b) (2%) F ( n) = (2) n (c) (2%) F (n) = n 3 (2) n (a) Поскольку 2 является корнем с кратностью 3 характеристического многочлена ассоциированного однородного рекуррентного соотношения, теорема 6 Раздел7. 2 сообщает нам, что конкретное решение будет иметь вид n 3 p 0 2 n. (b) Так как 2 не является корнем характеристического полинома ассоциированного однородного рекуррентного отношения, теорема 6 раздела 7.2 говорит нам, что конкретное решение будет иметь вид p 0 (2) n. (c) Поскольку 2 не является корнем характеристического полинома соответствующего однородного рекуррентного отношения, теорема 6 из раздела 7.2 говорит нам, что конкретное решение будет иметь вид (p 3 n 3 + p 2 n 2 + p 1 п + р 0) (2) п.11. Найдите замкнутый вид производящей функции для последовательности , где

7 (a) (2%) a n = 2 n для n = 1, 2, 3, 4, … и a 0 = 0. (b) (2%) a n = 1 / (n + 1)! для n = 0, 1, 2, … () 10 (c) (2%) an = для n = 0, 1, 2, … n + 1 (a) По таблице 1 раздела 7.4, производящая функция для последовательности, в которой an = 2 n для всех n равно 1 / (1 2x). Здесь мы можем подумать либо о вычитании отсутствующего постоянного члена, либо о факторинге 2x. Следовательно, ответ может быть записан как 1 (1 2x) 1 или 2x / (1 2x), что, конечно, алгебраически эквивалентно. (b) Степенный ряд для функции e x равен xn / n !. Это почти то, что мы имеем здесь; разница в том, что знаменатель равен (n + 1)! вместо n !. Итак (c) мы имеем x n (n + 1)! Знак равно 1 х х п + 1 (п + 1)! = 1 x заменой переменной. Эта последняя сумма равна (e x 1), поэтому наш ответ (e x 1) / x. С (10, N + 1) Икс N знак равно C (10, N) Икс N 1 знак равно 1 Икс N знак равно 1 N = 1 Икс N N! C (10, n) x n = 1 x ((1 + x) 10 1) 12. Для каждой из этих производящих функций предоставьте замкнутую формулу для последовательности, которую она определяет.(a) (2%) (3x 1) 3 (b) (2%) x 2 (1 x) 3 (c) (2%) (1 + x 3) / (1 + x) 3 (d) ( 2%) e 3×2 1 (a) Сначала нам нужно вычленить 1 и записать это как (1 3x) 3. n = 1 Тогда по теореме бинома получаем an = C (3, n) (3) n для n = 0, 1, 2, 3 и

8 других коэффициентов равны 0. В качестве альтернативы, мы могли бы просто перемножить этот конечный многочлен и отметить ненулевые коэффициенты: a 0 = 1, a 1 = 9, a 2 = 27, a 3 = 27.(b) Мы знаем, что x 2 (1 x) 3 = x 2 (1 3x + 3x 2 x 3) = x 2 3x 3 + 3x 4 x 5, поэтому имеем a 2 = 1, a 3 = 3, a 4 = 3, a 5 = 1 (c) Мы разделим это на две части: 1 (1 + x) + x 3 3 (1 + x) = (1) n C (n + 2, 2) xn + x 3 3 = = (1) n C (n + 2, 2) xn + (1) n C (n + 2, 2) xn + (1) n C (n + 2, 2) xn (1) n C ( n + 2, 2) x n + 3 (1) n 3 C (n 1, 2) xn Обратите внимание, что n и n 3 имеют противоположные четности. Следовательно, an = (1) n C (n + 2, 2) + (1) n 3 C (n 1, 2) = (1) n (C (n + 2, 2) C (n 1, 2)) = (1) n 3n для n 3 и an = (1) n C (n + 2, 2) = (1) n (n + 2) (n + 1) / 2 для n Математика для Австралии 6 Домашнее задание — Математика Haese