Погода в Санкт-Петербурге | Pogoda78.ru

Инструкция о порядке проведения ХХI межрегиональной заочной физической олимпиады

Инструкция о порядке проведения ХХI межрегиональной заочной физической олимпиады

Уважаемый участник олимпиады!
Заочный физико-математический лицей «Авангард» проводит традиционную ХХI Межрегиональную заочную физическую олимпиаду школьников. Олимпиада проводится для учащихся 7 – 10-х классов. Цель проведения заочной Олимпиады – повышение интереса учащихся к изучению физики. Все участники Олимпиады получат приглашение учиться в Заочном физико-математическом лицее «Авангард». Срок проведения олимпиады: ноябрь-декабрь 2014 г. Крайний срок отсылки решений – 30 декабря 2014 г.

Для участия в физической олимпиаде каждому участнику необходимо внести оргвзнос в размере 220 рублей, который должен быть перечислен на расчетный счет Заочного физико-математического лицея «Авангард» банковским или почтовым переводом.

Задания ХХI Межрегиональной заочной физической олимпиады для учащихся

7–10-х классов, инструкция о порядке проведения олимпиады и платежные реквизиты для оплаты приведены ниже.
Председатель

Оргкомитета олимпиады Е.Н.Филатов

Инструкция о порядке проведения ХХI Межрегиональной заочной физической олимпиады
Желающие участвовать в олимпиаде решают задачи и аккуратно по инструкции оформляют решения. Затем оплачивают через банк или на почте оргвзнос в размере 220 рублей за участие в олимпиаде. Оформленные решения и копию квитанции об оплате оргвзноса вкладывают в почтовый конверт и отсылают его не позднее 30 декабря 2014 г. по почте в адрес ОРГКОМИТЕТА.

Семиклассники пишут адрес: 115446, Москва, а/я 450, ОРГКОМИТЕТ, Ф-7.

Восьмиклассники пишут адрес: 115446, Москва, а/я 450, ОРГКОМИТЕТ, Ф-8.

Девятиклассники пишут адрес: 115446, Москва, а/я 450, ОРГКОМИТЕТ, Ф-9.

Десятиклассники пишут адрес: 115446, Москва, а/я 450, ОРГКОМИТЕТ, Ф-10.
Или по электронной почте: avangard-school@mail.ru отсканированные оформленные решения и отсканированную копию квитанции об оплате оргвзноса.

Требования к олимпиадным работам:

1. Участником олимпиады считается школьник, приславший решение хотя бы одной задачи и оформивший свою работу в соответствии с пунктами 2–4 . К рассмотрению принимаются только индивидуально присланные работы.

2. Решения аккуратно оформляются на двойных тетрадных листах с отрезанными полями (около 2 см), сшитых книжечкой и пронумерованных.

3. На первом листе (печатными буквами. ) указывается: Ф.И. учащегося, индекс и домашний адрес, электронный адрес (по желанию), номер и адрес школы, класс, Ф.И.О. учителя физики. Решение каждой задачи начинается с новой страницы. Последовательность оформления задач и их нумерация в работе должна соответствовать их нумерации в задании.

4. К решениям необходимо приложить два почтовых конверта с маркой А. На каждом конверте должен быть написан почтовый домашний адрес учащегося и обратный адрес – адрес оргкомитета. В первом конверте участнику будет выслано сообщение о регистрации работы, во втором – результаты и решения задач.

Все участники олимпиады получат свидетельство об участии в олимпиаде и информацию о Заочном физико-математическом лицее "Авангард". Победителям и призерам будут высланы дипломы, а решившим более половины задач – похвальные грамоты.

Крайний срок отсылки решений – 30 декабря 2014 г.

Подробную информацию о наших олимпиадах можно найти на сайте avangard-school.nm.ru

Оргкомитет не будет рассматривать работы, присланные без копии документа, подтверждающего оплату оргвзноса на проведение олимпиады, или высланные позже 30 декабря 2014 г. Дата отправки работы определяется по почтовому штемпелю на конверте.

Оргкомитет не принимает претензий со стороны участников олимпиады, неправильно или нечетко указавших свои фамилии и имена, домашние адреса, а также не выполнивших пункт 4 требований к олимпиадным работам.

ОПЛАТА ОРГВЗНОСА ЗА УЧАСТИЕ В ОЛИМПИАДЕ

Оргвзнос за участие в олимпиаде в размере 220 рублей надо перечислить банковским или почтовым переводом по реквизитам:

АНО ЗФМЛ "Авангард", ИНН 7724573030,

КПП 772401001, р/с № 40703810138060143354 в Царицынском ОСБ 7978/01577 ОАО «Сбербанк России» г. Москва

Инструкция о порядке проведения

Надеемся, что сейчас Вы тоже станете участником нашей ХХIII Весенней Межрегиональной заочной физико-математической олимпиады.

Если у Вас есть друзья, братья или сестры, которые интересуются физикой или математикой, Вы можете пригласить их к участию в нашей олимпиаде.

Олимпиада по математике проводится для учащихся 4–9 классов.

Олимпиада по физике проводится для учащихся 7–9 классов.

Цель проведения заочной Олимпиады – повышение интереса учащихся к изучению физики и математики.

Все участники Олимпиады получат приглашение учиться в Заочном физико-математическом лицее «Авангард».

Списки победителей олимпиады будут опубликованы на сайте ЗФМЛ «Авангард» avangard-lyceum.ru.

Сроки проведения олимпиады: 1 марта– 15 апреля 2017 г.

Крайний срок отсылки решений – 15 апреля 2017 г.

Для участия в олимпиаде каждому участнику необходимо внести организационный взнос за участие в математической олимпиаде – 95 рублей.

Оргвзнос должен быть перечислен на расчетный счет Заочного физико-математического лицея «Авангард» банковским или почтовым переводом.

Оплату также можно произвести через сайт Лицея avangard-lyceum.ru.

Задания ХХIII Весенней Межрегиональной заочной физико-математической олимпиады, инструкция о порядке проведения олимпиады и платежные реквизиты для оплаты приведены ниже.
Председатель

Оргкомитета олимпиады Е.Н.Филатов
Инструкция о порядке проведения

ХХIII Межрегиональной

заочной физико-математической олимпиады

(5 класс)
Оформленные решения и копию квитанции об оплате оргвзноса вложите в почтовый конверт и отшлите его не позднее 15 апреля 2017 г. по почте в адрес ОРГКОМИТЕТА.
Участники математической олимпиады пишут адрес:

115446, Москва, а/я 450, ОРГКОМИТЕТ, М-5;

Решения можно также выслать по e-mail: avangard-school@mail.ru.

Требования к олимпиадным работам
1. Участником олимпиады считается школьник, приславший решение хотя бы одной задачи и оформивший свою работу надлежащим образом. К рассмотрению принимаются только индивидуально присланные работы.

2. При отправке по почте решения аккуратно оформляются на двойных тетрадных листах с отрезанными полями (около 2 см), сшитых книжечкой и пронумерованных.

3. На первом листе (печатными буквами. ) указывается: Ф.И. учащегося, индекс и домашний адрес, электронный адрес (по желанию), номер и адрес школы, класс, Ф.И.О. учителя математики или физики. Решение каждой задачи начинается с новой страницы. Последовательность оформления задач и их нумерация в работе должна соответствовать их нумерации в задании.

4. К решениям необходимо приложить два почтовых конверта с маркой А. На каждом конверте должен быть написан почтовый домашний адрес учащегося и обратный адрес – адрес оргкомитета. В первом конверте участнику будет выслано сообщение о регистрации работы, во втором – результаты и награды.

5. Решения в электронной форме должны быть набраны в текстовом редакторе Word кеглем 14. Порядок оформления такой же как в п.3, отдельным файлом должна быть выслана отсканированная квитанция об оплате (при оплате через банк) или распечатка подтверждения об оплате (при оплате через сайт школы).

Все участники олимпиады получат сертификат об участии в олимпиаде и информацию о Заочном физико-математическом лицее "Авангард". Победителям и призерам будут высланы дипломы, а решившим более половины задач – похвальные грамоты.

Крайний срок отсылки решений – 15 апреля 2017 г.

Решения задач будут опубликованы на сайте avangard-lyceum.ru не позднее 1 мая 2017 года.

Оргкомитет не будет рассматривать работы, присланные без копии документа, подтверждающего оплату оргвзноса на проведение олимпиады, или высланные позже 15 апреля 2017 г. Дата отправки работы определяется по почтовому штемпелю на конверте.

Оргкомитет не принимает претензий со стороны участников олимпиады, неправильно или нечетко указавших свои фамилии и имена, домашние адреса, а также не выполнивших пункты 4-5 требований к олимпиадным работам.

ОПЛАТА ОРГВЗНОСА ЗА УЧАСТИЕ В ОЛИМПИАДЕ

Оргвзнос за участие в олимпиаде можно перечислить банковским или почтовым переводом по реквизитам:

АНО ЗФМЛ "Авангард", ИНН 7724573030,

КПП 772401001, р/с № 40703810138060143354

в Царицынском ОСБ 7978/01577 ОАО «Сбербанк России»

г. Москва к/с № 30101810400000000225 БИК 044525225.

Почтовый индекс Царицынского ОСБ 7978/01577: 115409.

Назначение платежа: Оргвзнос за участие в физмат олимпиаде.
Образцы заполнения квитанций на оплату через ОАО Сбербанк РФ прилагаются. Оргвзнос также можно внести через сайт Лицея, следуя инструкции на сайте avangard-lyceum.ru.

ЗАДАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЫ
1. Для окраски кубика потребовалось 3 кг краски. Сколько надо краски, чтобы покрасить кубик с ребром в 4 раза длиннее?
2. Назовите двузначное число, которое равно утроенной сумме своих цифр.

3. На глобусе проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей разделена поверхность глобуса?

Указание: меридиан – это дуга, соединяющая Северный полюс с Южным; параллель – это окружность, параллельная экватору (экватор тоже является параллелью).
4. Дядя Фёдор, кот Матроскин, Шарик и почтальон Печкин сидят на скамейке. Если Шарик, сидящий справа от всех, сядет между дядей Фёдором и котом, то кот станет крайним слева. В каком порядке они сидят?

5. Расшифруй. В примере на умножение разные буквы обозначают разные цифры:

ПОСОБИЙ — 50% СКИДКА

Заочный физико-математический лицей «Авангард» позволяет многим ребятам, не имеющим возможности очно получить углубленные знания по физике и математике, подготовиться к успешной сдаче ЕГЭ и поступить в вузы. Ведь без твердых знаний по этим предметам невозможно получить достойное высшее техническое или экономическое образование.

Курсы математики с 5-го по 11-й класс и курсы физики с 7-го по 11-й класс рассчитаны не только на очень сильных и хорошо подготовленных учеников, но и на «средних» учеников, не имеющих глубоких знаний, но имеющих большое желание получить хорошее образование.

Наши методические пособия реально помогут школьнику самостоятельно освоить физику и математику на достаточно высоком уровне даже в том случае, если в его школе нет учителя по одному из этих предметов. Главное требование к нашим ученикам – это желание. Без него, к сожалению, ничего не получится.

Учебные курсы нашего заочного лицея имеют три уровня трудности: «А», «В» и «С».

Задания уровня «А» соответствуют базовой школьной программе, задания уровня «В» – это школьные задачи повышенной трудности, «С» – это уровень олимпиадных задач. Каждый ученик получает задания всех уровней и самостоятельно решает по какой программе он будет учиться. В процессе учебы возможны (и желательны) переходы с одного уровня на другой. Часто, начав обучение в «Авангарде» с уровня «А», учащийся со временем переходит на более высокий уровень.

Основная цель обучения в «Авангарде» – научиться самостоятельно решать задачи.

Обучение в заочном лицее построено следующим образом. Учащиеся получают по каждому предмету пакет материалов, в который входят:

1. методические пособия,
2. домашние задания,
3. рекомендации по организации обучения на весь учебный год.

В методических пособиях изложен теоретический материал и разобраны примеры типичных задач. Проработав этот материал, учащийся самостоятельно решает домашнее задание, которое высылается на проверку.

Проверенные домашние задания с выставленными оценками высылаются учащимся обратно по почте.

Ученики, выполнившие все задания данного учебного курса, получают по почте СВИДЕТЕЛЬСТВО с итоговой оценкой и скидку при оплате обучения в следующем учебном году.

Для учащихся 6-9-х классов

Обучаясь в лицее, можно познакомиться с началами теории вероятностей. Для этого разработан развивающий курс “МАТЕМАТИКА СЛУЧАЙНОГО”. Это курс для школьников, особенно увлекающихся математикой. Курс включает в себя: комбинаторику, элементы теории вероятности и математическую статистику. С 2004 г. курс “Математика случайного” включен в международную образовательную программу. Очно этот курс преподается в ряде московских экспериментальных школ. Для учащихся заочного лицея “Авангард” консультантом будет автор курса и учебника В.Н.Федосеев. Особый интерес вызывают задачи, вычисляющие вероятности выигрышей, а также многочисленные исторические факты из теории случайного. Но основная цель курса — развитие навыков моделирования при решении задач. Учащиеся получают учебник, детальные рекомендации по его изучению и решению задач, 6 домашних заданий – контрольных работ. Курс построен так, что не требует специальных математических знаний, кроме действий с числами. Поэтому он адресован школьникам 6-9-х классов. Курс не имеет жестких временных рамок, может быть выполнен и за 3 месяца, и за два года. Закончившие курс получат свидетельство специального образца.

Для учащихся 7-9-х классов

Учащиеся 7-9-х классов в целях экономии могут заказать программу «Лицеист», куда входят сразу три курса:

• годовой курс по математике;
• годовой курс по физике;
• развивающий курс «Математика случайного».

Стоимость программы меньше суммарной стоимости отдельно взятых трех курсов, и ее целесообразно заказать один раз в период обучения в 7-9-х классах.

Информация для учащихся 10-х классов

Подготовиться к сдаче ЕГЭ, так чтобы набрать высокие баллы и поступить в престижный вуз, за один год очень трудно. Идея двухгодичных курсов по математике и физике для абитуриентов заключается в том, чтобы уверенно освоить школьную программу в десятом классе и посвятить 11-й класс интенсивной подготовке к сдаче ЕГЭ. Комплекты пособий и заданий для 10 и 11 классов можно заказать отдельно (сначала оплатить и пройти курс 10-го класса, а затем заказать курс 11-го класса), а можно сразу оплатить двухгодичное обучение, заказав «Курс абитуриента» по одному или двум предметам. Заказавшим «Курс абитуриента» высылается полный комплект методических разработок, рекомендаций и домашних заданий для 10-11-го классов. Стоимость «Курса абитуриента» намного меньше, чем суммарная стоимость входящих в него одногодичных курсов в отдельности.

Если Вы решили начать обучение в нашем лицее, то сообщаем, что рекомендуемые сроки выполнения и отсылки на проверку работ за текущий учебный год — не позже 30 октября 2016 г. Учиться можно круглогодично, даже летом.

Прием заявок на обучение идет круглогодично.

Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА. Экспериментальный учебник. Часть 1 МОСКВА 2016

2 СОДЕРЖАНИЕ 1. Делимость. 2. Чёт нечет 3. Множества. 4. Забавные задачи. 5. Комбинаторика (первое знакомство). 6. Математическая логика.. 7.Угадываем числа, ищем фальшивые монеты 8. Принцип Дирихле. ПОДСКАЗКИ. ОТВЕТЫ.

3 ГЛАВА 1 Учимся решать олимпиадные задачи 1. Делимость Вспомним, что значит разделить одно натуральное число а на другое натуральное число b, то есть что значит выполнить действие а:b. Читатель: По-моему, это значит найти такое натуральное число с, что с b = а. Автор: Совершенно верно! 100 : 20 = 5, потому что 5 20 = 100. Напомним, что то число, которое мы делим, называется делимым; то число на которое мы делим, называется делителем, а результат деления называется частное. Таким образом, в примере 100 : 20 = 5 делимое 100, делитель 20, частное 5. Мы знаем, что не всегда одно натуральное число нацело (без остатка) можно разделить на другое натуральное число. Например, 100 делится на 20, но не делится на 21. (Сразу оговоримся, что в данном параграфе мы будем иметь дело только с натуральными делителями.) Для краткости записи будем в дальнейшем использовать следующие обозначения: «делится», «не делится». Например, запись означает, что число 100 делится на число 20 без остатка, а запись означает, что число 100 не делится на число 21 без остатка. Делитель натурального числа Каждое число обязательно делится на какое-нибудь число. Как минимум, оно делится на единицу и на самого себя. Так, 7 : 1 = 7 и 7 : 7 = 1; 100 : 1 = 100 и 100 : 100 = 1 и т.д. Но некоторые числа делятся не только на единицу и самого себя, но и на другие числа: 12 6, 12 4; 12 3;

4 Числа, на которые без остатка делится данное натуральное число, называются его делителями. Например, у числа 3 два делителя: 1 и 3, так как 3 1 и 3 3, у числа 4 три делителя: 1, 2 и 4, так как 4 1, 4 2, 4 4, а у числа 12 шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 12, так как 12 1, 12 2, 12 3, 12 4, 12 6, Итак, у каждого натурального числа, большего единицы, есть делители и этих делителей всегда не менее двух. Число 1 здесь исключение: у него всего один делитель: 1 1 и всё! А1. Запишите все делители следующих чисел: а) 6; б) 18; в) 24; г) 26; д) 169; е) 61. Числа простые и составные Числа, которые делятся только на единицу и самих себя называются простыми. Например, простыми являются числа 2, 3, 5, 7, 17, 41, 101. Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными, например: 4, 6, 8, 9, 100, Заметим, что число 1 математики условились считать НЕ простым и НЕ составным, так как оно уникально: у него только один делитель единица. Кратность натуральных чисел Число, которое делится на данное натуральное число без остатка, называется кратным для данного числа. Например: кратное 10, кратное 10, кратное 10, кратное 10, кратное 10, кратное 10. 4

5 Ясно, что кратных у данного числа бесконечно много, и одним из этих кратных является само число, так как всякое число делится самого на себя. Напомним, что числа, кратные 2, называются чётными (например, 2, 4, 6, 8, 12 ), а не кратные 2 нечетными (например, 1, 3, 5, 7 ). А2. Запишите по три кратных для следующих чисел: а) 2; б) 17; в) 24; г) 100. Теперь вспомним, что такое обыкновенная дробь, а также основное свойство дроби. Читатель: Насколько я помню, обыкновенная дробь это a выражение вида, где а и b натуральные числа. b Например: 1 2 7,, и т.д. А основное свойство дроби состоит в том, что числитель и знаменатель дроби можно умножить и разделить на любое число, не равное нулю Величина дроби при этом не изменится: = = и :10 1 = = :10 2 Автор: Совершенно верно! На основном свойстве дроби основана операция, которая называется сокращением дроби. Мы делим и числитель и знаменатель на одно и то же число, не равное нулю, и заменяем исходную дробь на равную ей дробь, но с меньшими числителем и 10 10:10 1 знаменателем. Так, = = это как раз и есть 20 20:10 2 сокращение дроби. Задача 1.1. Сократите дроби: а) ; б), в)

6 Решение. а) = = 18 = 90; б) (2 2 ) = = = (3 3 ) в). Конечно, здесь можно было бы сначала выполнить вычитание, а затем уже заниматься сокращением. Но дело значительно упростится, если заметить, что 80 = 5 16, 160 = 10 16, 32 = Тогда (5 1) = = = (10 2) 16 8 = 8 =. 2 Ответ: а) 90; б) 2 15 ; в) 1 2. А3. Сократите дроби: а) ; б) ; в) Б1. Сократите дроби: а) ; б) Б2. Сократите дроби: а) ; б) ; в) ; г) Б3. Сократите дроби: а) ; б) Ещё один взгляд на операцию деления Заметим, что деление числа а на число b можно a рассматривать как операцию сокращения дроби b. Если после всех возможных сокращений знаменатель обратится в 6 ;

7 1, значит, число а нацело разделилось на число b: a b, а если нет значит, а не делится на b: a b. Задача 1.2. Выясните, делится ли: а) на 8; б) на 1000; в) на 5. Решение. Во всех трёх случаях попробуем сократить дроби а). Заметим, что 8 = = 2 3, тогда = = = = Значит (2 5 7) делится на б). Заметим, что 1000 = (2 5) 3 = , тогда (2 2 ) = = = Все возможные сокращения мы провели, но знаменатель оказался равным 5, то есть мы получили дробное число, а значит, в). Заметим, что 65 = 5 13, а дальше всё просто: = = = (68 65) Ответ: а) да; б) нет; в) да. Б4. Выясните, делится ли: а) на 2; б) на 5. В1. Выясните, делится ли число а на число b без остатка, если: а) а = и b = 2 3 7; б) а = и b = 3 3 5; в) а = и b = 3 5 5; г) а = и b = 21; д) а = и b = 135; 7

8 е) а = и b = В случае, когда а делится на b, найдите частное. Делится или не делится? Теперь мы будем определять, делится ли данное число (или арифметическое выражение) на другое число, не проводя самой операции деления. Главный признак делимости: если натуральное число а можно представить в виде произведения а = k b, где k и b натуральные числа, то а k. a k b b В самом деле: = = = b. k k 1 1 Например, 777 = 7 111, значит, Задача 1.3. Докажите, что: а) (19 30) 3; б) (28 25) 5; в) (14 51) 7. Решение. Воспользуемся главным признаком делимости: если а = k b, то а k. а) = = 3 (19 10) 3 (19 10) 3. б) = = 5 (28 5) 5 (28 5) 5. в) = = 7 (2 51) 7 (2 5) 7. Ответ: все утверждения доказаны. Б5. Докажите, что: а) (34 12) 3; б) (33 23) 3; в) (73 90) 5; г) (35 48) 5; д) (8 21) 7; е) (56 12) 7. Задача 1.4. Докажите, что ( ) 7. Решение. Преобразуем наше выражение и воспользуемся главным признаком делимости: ( ) = = 3 6 ( ) = = 3 6 (9 3 +1) = 3 6 7= А согласно главному признаку деления Утверждение доказано. 8

9 А4. Докажите, что ( ) 18. Б6. Докажите, что: а) делится на 43; б) делится на В2. Докажите, что значение дроби целое число Задача 1.5. Докажите, что ( ) 73. Решение. Представим каждое слагаемое в виде степени с основанием 3, а затем вынесем за скобки общий множитель: = (3 ) + (3 ) + 3 = = = = 3 ( ) = 3 ( ) = 3 73 Значит, ( ) 73. Утверждение доказано Б7. Докажите, что: а) ( ) 30; б) ( ) 7; в) ( ) 26; г) ( ) 24. Задача 1.6. Докажите, что: а) ( ) 120; б) ( )( ) 24. Решение. а) ( ) = (5 2 ) = = 5 12 (5 2 1) = Пока неочевидно, что наше выражение делится на 120, поэтому продолжаем преобразования: = 5 11 (5 24) = б) ( )( ) = 3 4 (3 1) 3 2 (3 + 1) = = = = 3 4 3(3 2 4) = Утверждения доказаны. В3. Докажите, что: а) ( )( ) 60; б) ( )

10 В4. Докажите, что: а) ( ) 39; б) ( ) 44. Прежде чем перейти к следующим задачам, вспомним некоторые формулы сокращённого умножения. Формула суммы (разности) кубов: а 3 ± b 3 = (а ± b)(a 2 ab + b 2 ). (1.1) Формула суммы нечетных степеней: 2n+ 1 2n+ 1 a + b = (1.2) 2n 2n 1 2n 2 2 2n 1 2n = ( a+ b)( a a b+ a b. ab + b ) Например: a + b = ( a+ b)( a ab+ ab ab + b ). Формула разности степеней: n n a b = = n 1 n 2 n n 3 n 2 n 1 ( a b)( a a b a b. ab ab b ). 10 (1.3) Например: a b = ( a b)( a + ab+ ab + b ). (Если формулы (1.1) и (1.2) Вам не знакомы, попробуйте их доказать для п = 5 простым перемножением.) Задача 1.7. Докажите, что: а) ( ) 25; б) ( ) 30; в) ( ) 100. Решение. а) Воспользуемся формулой (1.1) и получим: = ( ) ( ) = = 75 ( ) = 25 [3 ( )] 25. б) = 5 (7 12 1). Воспользуемся формулой (1.3): 5 (7 12 1) = 5 (7 1)( ) = = 5 6 ( ) = 30 ( ) 30. в) = = (9 2 ) = Воспользуемся формулой (1.2) и получим: = (81+ 19)( ) = = + + Все утверждения доказаны ( ) 100.

11 В5. Докажите, что: а) ( ) 81; б) ( ) 60; в) ( ) 50. Г1. Докажите, что: а) ( ) 28; б) ( ) 99. Задача 1.8. Докажите, что число вида aaabbbccc делится на 13, если а + с = b. Решение. Представим 9-значное число aaabbbccc в следующем виде: aaabbbccc= ссс bbb aaa (например, = ). Поскольку а + с = b, то bbb= aaa+ ссс, тогда наше число примет вид ссс ( aaa+ ccc) aaa= = ( ccc ccc) + (1000 aaa aaa) = = ccc ( ) aaa ( ) = = 1001 ccc aaa= = 1001 ( ccc aaa). Теперь заметим, что число 1001 можно представить в виде произведения трёх сомножителей: 1001 = С учетом этого наше выражение примет вид 13 [11 7 ( ccc aaa)] 13. Утверждение доказано. В6. Докажите, что если к трёхзначному числу приписать справа то же число, то полученное шестизначное число будет кратно 7, 11 и 13. Г2. Докажите, что «слово» ХАХАХА делится на 7, если буквами Х и А обозначены любые разные цифры. (Например, ). Г3. Докажите, что трёхзначное число с одинаковыми цифрами делится на 37. (Например, ). Условия делимости разности и суммы двух чисел 11

12 Если а k и b k, то (a + b) k и (a- b) k. Например, если а = , а b = , то a + b = ( ) 10, a b = ( ) 10. В самом деле: если а k, то а может быть представлено в виде произведения а = k с, где с некоторое целое число, а если b k, то b может быть представлено в виде произведения b = k d, где d некоторое целое число. Тогда a+ b= k c+ k d = k ( c+ d) k; a b= k c k d = k ( c d) k, что и требовалось доказать. Задача 1.9. Запишите две пары натуральных чисел а и b, таких, что значение выражения 2а + 11b делится на 7. Решение. Заметим, что 2 а 7, если а 7, т.е. а = 7 k, где k любое натуральное число, а 11 b 7, если b 7, т.е. b = 7 l, где l любое натуральное число. Нам необходимо, чтобы каждое из слагаемых 2а и 11b делилось на 7. Возьмём: 1) а = 7 1 = 7 7 и b = 7 2 = 14 7; 2) а = 7 10 = 70 7 и b = 7 20 = Получим: 1) 2а + 11b = ( ) = 7 (2 + 11) 7; 2) 2а + 11b = ( ) = 7 ( ) 7. Ответ: 1) а = 7, b = 14; 2) а = 70, b = 140. Ясно, что эта задача имеет бесконечно много решений. А5. Подберите по три значения п, чтобы: а) (120 п) 2; б) ( п) 5; в) ( п) 10. Б8. Запишите две пары натуральных чисел х и у, при которых значение выражения 5х + 6у делится: а) на 2; б) на 3; в) на 5; г) на 10; д) на 9; е) на 25. Задача Докажите, что: а) ( ) 101; 12

13 б) ( ) 200. Решение. а) Разобьем нашу сумму на пары: ( ) + (2 + 99) + (3 + 98) ( ). Выражение в каждой скобке равно 101, а всего таких выражений 50. Следовательно, это выражение равно , а значит, , что и требовалось доказать. б) Эта сумма включает 199 слагаемых: ( ). Сгруппируем их следующим образом: ( ) + ( ) + ( ) + +( )+ + ( ) У нас получилось 99 пар слагаемых и еще слагаемое Покажем, что каждое из слагаемых делится на 200. Для этого воспользуемся формулой суммы кубов: = ( ) ( ) = = 200 ( ) 200; = ( ) ( ) = = 200 ( ) 200; = ( ) ( ) = = 200 ( ) 200. Последнее слагаемое: = = 100 (2 50) 100 = 200 (50 100) 200. Таким образом, каждая из 99 пар слагаемых и ещё одно слагаемое (100 3 ) делятся на 200, а значит, и вся сумма делится на 200, что и требовалось доказать. В7. Докажите, что ( ) В8. Докажите, что ( ) 83. Г4. Докажите, что ( )

14 Задача Докажите, что если а 2 (а b), то b 2 (а b). Решение. 1. Составим разность а 2 (а 2 b 2 ). По условию задачи а 2 (а b). Покажем, что (а 2 b 2 ) (а b). В самом деле: (а 2 b 2 ) = (а b)(а + b) (а b). 2. Если уменьшаемое а 2 делится на (а b) и вычитаемое (а 2 b 2 ) делится на (а b), то и разность а 2 (а 2 b 2 ) делится на (а b). Но если мы упростим нашу разность, получим: а 2 (а 2 b 2 )= а 2 а 2 + b 2 = b 2. А значит, b 2 (а b), что и требовалось доказать. Б9. а, b и k целые числа: а + b и ab делятся на k. Докажите, что: а) а 2 b 2 делится на k; б) а 2 + b 2 делится на k; в) а 3 + b 3 делится на k 2. В9. Докажите, что если а 2 + ab + b 2 делится на а + b, то а 4 + b 4 делится на (а + b) 2. Г5. Вася считает, что если ab + cd делится на а с, то ad + bc также делится на а с. Прав ли он? Задача Докажите, что выражение ( abbb a) 37, где а любая цифра, кроме 0, а b любая цифра. Решение. Заметим, что 111 = abbb= a bbb= a b 111. Например, 2333= = abbb a= ( a b 111) a= a(1000 1) + b 111= = a 999+ b 111= a b 111= = 111 ( a 9 + b) = 37 3 ( a 9 + b) 37, что и требовалось доказать. Б10. Докажите, что число, состоящее из четного числа одинаковых цифр, делится на 11. В10. Докажите, что число делится на n цифр 14

15 Г6. Докажите, что если есть два трёхзначных числа, каждое из которых не делится на 37, но их сумма делится на 37, то шестизначное число, составленное из двух этих чисел, делится на 37. Например, 170 не делится на 37 и 200 не делится на 37, но их сумма =370 делится на 37, тогда и число Когда сумма и разность двух чисел не делится на целое число Автор: Мы выяснили, что если а k и b k, то (a + b) k и (a b) k. Как Вы считаете, будет ли делиться на k сумма a + b и разность a b, если а k, а b k? Читатель: По-моему, нет. Если b k, то дробь b не может k быть целым числом. В то же время, поскольку а с, а = k c, где с целое число. Рассмотрим дробь a+ b k c+ b k c b b = = + = c+ дробное число. Значит, k k k k k ( a+ b) k. Для разности a b рассуждения аналогичны. Автор: Верно! Приведём ещё одно доказательство того же факта. Рассмотрим равенство (a + b) a = b. По условию а k, а b k. Предположим, что (a + b) k, но тогда должно выполняться условие b k. Однако по условию b k. Значит, неверно, что (a + b) k, то есть ( a+ b) k, что и требовалось доказать. Автор: Как Вы считаете, будет ли делиться на k сумма (a + b) и разность (a b), если a k и b k? Читатель: Нет, конечно! Ведь если a k, а b k, то ни сумма, ни разность на k не делится. А если ещё и a k, то и подавно ни сумма, ни разность на k делиться не будет! 15

16 Автор: А вот тут Вы поспешили с выводами! В математике любое утверждение надо доказывать, а Вы положились «на здравый смысл», который в данном случае не сработал. Рассмотрим числа a= 6 5 и b= 3 5. Их сумма a + b = = = 9 5, разность a b = 6 3 =3 5. Всё, как Вы сказали. Возьмём другие числа: a= 6 5 и b= 4 5. Тогда a + b = = 10 5! Как видите, конкретный пример опроверг Ваше утверждение. Ещё пример: a= 3 2 и b= 1 2. Их сумма a + b = = = 4 2, и разность a b = 3 1=2 2! Читатель: Получается, что если a k и b k, то про делимость на k выражений (a + b) и (a b) вообще ничего невозможно сказать? Автор: Именно так! Но можно утверждать, что если (a + b) k или (a b) k, то либо a k и b k, либо a k и b k. А6. Подтвердите примерами следующее свойство суммы: а) если каждое слагаемое кратно числу а, то и сумма кратна числу а; б) если только одно слагаемое суммы не кратно числу а, то сумма не кратна числу а. Б11. Определите, какие из следующих утверждений верны, а какие нет: а) если одно слагаемое делится на 6, а другое не делится на 6, то их сумма не делится на 6; б) если каждое из двух слагаемых не делится на 6, то их сумма не делится на 6; в) если сумма двух слагаемых не делится на 6, то хотя бы одно из них делится на 6; г) если сумма двух слагаемых не делится на 6, то каждое слагаемое не делится на 6. В11. Подберите примеры, подтверждающие утверждения: а) если ни уменьшаемое, ни вычитаемое не делятся на некоторое число, то разность на это число не делится; б) если разность двух чисел делится на некоторое число, то и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на это число. 16

17 Задача Не выполняя деления, выясните, делится ли: а) на 9; б) на 10; в) на 8. Решение. а) 81 9 и 72 9 ( ) 9. б) и ( ) 10. в) = = = Очевидно, что , , , , 1 8. Тогда ( ) 8, а всё число можно представить в виде суммы двух слагаемых, одно из которых делится на 8, а другое не делится на 8: делится на 17, а второе (7) не делится. Значит, и сумма не делится на 17. Ответ: а) да; б) нет; в) нет. А10. Как быстро узнать, делятся ли на 2: а) суммы ; ; ; б) разности ; ; ? Б18. Найдите два значения х, при которых значение выражения: а) х 25 делится на 25; г) 5х делится на 7; б) х делится на 4; д) х делится на 10; в) 213х делится на 9; е) 543 х делится на 2, но не делится на 5. В17. Представьте число в виде суммы или разности натуральных чисел так, чтобы без дополнительных вычислений определить: 1) делится ли число : а) на 2; б) на 13; 2) делится ли число : а) на 2; б) на 18; 3) делится ли число : а) на 2; б) на 14; в) на 7; 4) делится ли число : а) на 2; б) на 22; в) на 11. Признаки делимости на 3 и 9 Автор: Заметим, что сформулировать признаки делимости на 3 и 9 таким же образом, как это мы сделали только что при доказательстве признаков делимости на 2, 4, 5, 10, 25, не удастся. То есть если мы представим число в виде а 10 + b, то доказать, что число а 10 делится на 3 или на 9 не удастся! Поэтому делимость на 3 и 9 последней цифры числа ничего не решит. Ограничимся тем, что рассмотрим пятизначное число abcde и выясним, при каком условии оно будет делиться на 3 и 9: 21

22 abcde= a b c 100+ d 10+ e= = a( ) + b(999+ 1) + c(99+ 1) + d(9+ 1) + e= = a b 999+ c 99+ d 9 + ( a+ b+ c+ d+ e) = = 9 ( a b 111+ c 11 + d) + ( a+ b+ c+ d+ e). Мы получили сумму двух слагаемых. Очевидно, что одно слагаемое 9 ( a b 111+ c 11 + d) делится на 3 и на 9, а второе слагаемое ( a+ b+ c+ d+ e) это сумма цифр нашего числа. Если оно делится на 3, то и все число делится на 3. Если оно делится на 9, то и все число делится на 9. Теперь без большого труда можно обобщить наш результат на число с любым количеством цифр. При желании Вы можете сделать это самостоятельно. Итак, запомним признаки делимости на 3 и 9: если сумма цифр натурального числа делится на 3, то и все число делится на 3; если сумма цифр натурального числа делится на 9, то и все число делится на 9. Задача Выпишите из чисел: 1) ; 2) ; 3) , 4) те, которые: а) кратны 3; б) кратны 9; в) делятся без остатка на 3 и 5; г) кратны 9 и 2. Решение. Сначала найдем суммы цифр каждого числа: 1) = 12; 2) = 27; 3) = 27; 4) = 36. Теперь можно ответить на вопросы задачи: а) кратны 3 (то есть делятся на 3) все четыре числа, так как 12 3, 27 3, 36 3; б) кратны 9 второе, третье и четвёртое число, так как 27 9; 36 9, а 12 9; в) делится без остатка на 3 и 5 только четвёртое число, так как его сумма цифр 27 3 и оно заканчивается на 5; г) кратны 9 и 2 второе и третье числа, так как их сумма цифр делится на 9 и последние цифры (6 и 4) чётные. 22

23 Ответ: а) все; б) второе, третье и четвёртое; в) четвёртое; г) второе и третье. А11. Любое ли число, которое оканчивается цифрой 3, делится на 3? Б19. Даны числа: 1) 75432; 2) ; 3) Какие из них делятся на 3? Какие из них делятся на 9? Б20. Даны числа: 1) ; 2) 26271; 3) ; 4) ; 5) ; 6) Укажите те числа, которые кратны: а) 3; б) 9; в) и 3, и 5; г) и 4, и 9. В18. Даны числа: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 44856; 5) ; 6) ; 7) Укажите те числа, которые: а) кратны 3, б) кратны 9; в) делятся без остатка на 5 и 3; г) кратны 9 и 2. Задача В числе вместо нулей поставьте такие одинаковые цифры, чтобы полученное число было кратно 9. Решение. В числе сумма цифр равна = = 21, Ближайшее число, которое делится на 9 это 27, так как = 6, то вместо трёх нулей мы можем поставить три одинаковые цифры, которые в сумме дают 6: = 6. Таким образом, получили число Единственный ли это ответ? Рассмотрим следующее ближайшее число, делящееся на 9, это = 15, 15 = Значит, есть ещё ответ Следующее ближайшее число, делящееся на 9, это = 24, 24 = Значит, есть ещё ответ Ответ: , , А12. Напишите четырёхзначное число, которое делилось бы и на 9, и на 4. Б21. В записи*723, 5*36, 111* вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы получившиеся числа делились на 9. 23

24 Б22. Определите, какую цифру надо приписать к числу 10 слева и справа, чтобы получилось четырёхзначное число, делящееся: а) на 9; б) на 3. В19. Укажите трёхзначное число: а) первая цифра которого 2 и оно делится на 9 и на 5, но не делится на 2; б) первая цифра которого 6 и оно делится на 2, на 5 и на 9. Делимость на 11 Сначала заметим, что на 11 делятся все двузначные числа, состоящие из одинаковых цифр: 22, 33, 44,, 99. В общем виде их можно записать как aa= 11 а, например: 33 = На 11 также делятся все числа, состоящие из чётного количества одинаковых цифр: 3333, , и т.д. В общем виде их можно записать так: aaa. a. 2 n цифр Ещё на 11 делятся числа вида 1001, , и 2 т.д., то есть числа вида = 10 n + 1. Деление на 11 2 n цифр чисел: и можно просто проверить: (1001 : 11 = 91, : 11 = 9091), а общий случай попробуйте доказать самостоятельно (подсказка: = 11000; = и т.д.). Теперь выясним, при каком условии шестизначное число abcdef делится на 11. (Мы здесь ограничимся частным случаем для краткости вычислений, но при желании Вы можете обобщить наши выводы на числа с любым 2 количеством цифр, зная, что (10 n + 1) 11.) Итак, abcdef = a b c d 100+ e 10+ f = = a( ) + b (999+ 1) + c (1001 1) + d (99+ 1) + + e (11 1) + f = 24

25 = ( a b c d 99+ e 11) + + ( a+ b c+ d e+ f ). Поскольку , , , 99 11, 11 11, то и всё выражение ( a b c d 99+ e 11) делится на 11. Следовательно, чтобы все наше число abcdef делилось на 11, необходимо, чтобы на 11 делилось и выражение ( a+ b c+ d e+ f ). Выражение a+ b c+ d e+ f называется знакопеременной суммой цифр, так как перед цифрами а, с и е стоит знак минус, а перед цифрами b, d и f знак плюс: abcdef. Таким образом, признак делимости на 11 звучит так: Число делится на 11, если его знакопеременная сумма цифр делится на 11. Задача Определите, делится ли на 11 число: а) 363; б) 9394; в) Решение. В каждом случае составляем знакопеременную сумму цифр и проверяем, делится ли она на 11: + + а) б) = ; = ; в) = Ответ: все числа делятся на 11. А13. Не выполняя деления, назовите числа, делящиеся на 11: , , Б23. В числе * напишите последнюю цифру, такую, чтобы число делилось на

26 В20. Пусть ab двузначное число, в котором сумма цифр а + b < 10. Докажите, что число aсb, где с = а + b, кратно 11. Разложение на простые множители Как мы уже знаем, все натуральные числа делятся на простые и составные. Простые числа делятся только на единицу и самих себя, а составные имеют и другие делители. Так, 7 простое число (7 делится без остатка только на 1 и 7), 6 составное число, которое делится на 1, 2, 3 и 6. Всякое составное число можно представить в виде произведения простых сомножителей (разложить на простые множители). Например: 6 = 2 3, 8 = 2 2 2, 26 = 2 13, 30 = и т.д. Можно доказать (мы этого пока делать не будем), что всякое число можно разложить на простые множители единственным образом. То есть если а = α 1, α 2, α 3,, α п, где α 1, α 2, α 3,, α п некоторые простые числа, то невозможно представить а в виде произведения а = β 1, β 2, β 3,, β п, где β 1, β 2, β 3,, β п некоторые другие простые числа. Задача Разложите на простые множители числа: а) 24; б) 36; в) 169; г) Решение. а) Разложим на множители число 24 с помощью деления. Делимые записываем слева от вертикальной делители справа: 1) 24 : 2 = 12, 2) 12 : 2 = 6, 3) 6 : 2 = 3, 4) 3 : 3 = 1. Теперь осталось только записать результат: 24 = черты, а б) Аналогично разлагаем на множители число

27 Записываем результат: 36 = в) 169 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7, ни на 11. Зато 169 : 13 = 13. Записываем результат: = г) Делить 1155 удобно начинать с 11 (так как ). Записываем результат: 1155 = Ответ: а) 24 = ; б) 36 = ; в) 169 = 13 13; г) 1155 = Б24. Разложите на простые множители: а) 22; б) 124; в) 160; г) 324; д) 999. Взаимно простые числа Числа называются взаимно простыми, если они не имеют ни одного простого общего множителя. Например: 4 = 2 2, 9 = 3 3 общих простых множителей нет, значит, 4 и 9 взаимно простые числа, хотя каждое из них составное. У чисел 8 = и 15 = 3 5 общих простых множителей тоже нет, значит, 8 и 15 взаимно простые. А вот 38 и 2002 не являются взаимно простыми, так как 38 = 2 19, 2002 = , то есть они имеют один общий простой множитель

28 Задача Определите, какие из представленных чисел являются взаимно простыми: а) 2 и 3; б) 2 и 4; в) 22 и 77; г) 111 и 33; д) 22 и 21; е) 121 и 111. Решение. а) 2 и 3 простые числа, а два любых простых числа, не равных друг другу, обязательно являются взаимно простыми, так как у них не может быть общих множителей, кроме единицы. б) 2 и 4. Число 2 простое, 2 = 2 1, а 4 = 2 2. Есть общий простой множитель 2, значит, числа 2 и 4 не взаимно простые. в) 22 = 2 11, 77 = Есть общий простой множитель 11, значит, числа 22 и 77 не взаимно простые. г) 111 = 3 37, 33 = Есть общий простой множитель 3, значит, числа 111 и 33 не взаимно простые. д) 22 = 2 11, 21 = 3 7. Нет общих простых множителей, значит, числа 22 и 21 взаимно простые. е) 121 = 11 11, 111 = Нет общих множителей, значит, числа 121 и 111 взаимно простые. Ответ: взаимно простые числа 2 и 3, 22 и 21, 121 и 111. Б25. Определите, какие из чисел являются взаимно простыми: а) 21 и 31; б) 31 и 62; в) 111 и 37; г) 19 и 23; д) 225 и 105; е) 64 и 81. Признак делимости на составное число Если составное число а можно представить в виде произведения двух взаимно простых чисел b и с: a = b c, то для того чтобы число А делилось на число а, необходимо, чтобы А b и А с. Например, составное число 12 представимо в виде произведения двух взаимно простых чисел: 12 = 4 3. Следовательно, для того, чтобы число 144 делилось на 12, необходимо, чтобы и

29 Приведём доказательство признака делимости на составное число. Даны числа: А, b и с, такие, что: А b и А с, где b и с взаимно простые числа. Докажем, что А а, где a = b c. Пусть b = α 1 α 2 α п, где α 1, α 2, α 3,, α п простые множители, c = β 1 β 2 β п, где β 1, β 2,, β п простые множители. А так как b и с взаимно простые числа, то среди чисел α 1 α 2 α п нет ни одного числа β 1, β 2,, β п. Тогда b c = α 1 α 2 α п β 1 β 2 β п. По условию А b и А с, следовательно: A A b =. = целое число, α1 α n A A с =. = целое число. β1 β n Таким образом, в разложении числа а на простые множители должны присутствовать все простые множители чисел b и c, то есть А = k (α 1 α п ) (β 1 β п ) = k (b c) A (bc) А а. Приведём пример. Число а = 90 можно представить в виде произведения двух взаимно простых множителей b = 9 и с = = 10, тогда а = bc = 9 10 = 90. Покажем, что число А = 270 делится на а = 90. А b (270 9); А с (270 10), значит, А (bс), т.е Действительно, 270 : 90 = 3. А вот другой пример: 24 = 6 4, числа 6 и 4 не являются взаимно простыми, 12 6 и 12 4, но 12 (6 4), то есть, вообще говоря, из того, что число А делится на b и на с не следует, что оно делится на произведение этих чисел (bс). Читатель: А если А b, но А с, можно ли утверждать, что A ( bc)? Автор: Можно. Если А с, значит, в разложении с на множители есть хотя бы один простой множитель, на 29

30 A который А не делится, то есть дробь не может быть b c целым числом. Задача Сформулируйте признак делимости на 36. Решение. 36 = 9 4; 9 и 4 взаимно простые числа. Для того чтобы А 36, необходимо, чтобы А 9 и А 4. Теперь сформулируем признак делимости на 36: чтобы число А делилось на 36, необходимо, чтобы сумма его цифр делилась на 9 и число, составленное из двух последних цифр делилось на 4. В21. Сформулируйте признаки делимости: а) на 6; б) на 12; в) на 15; г) на 99. Задача Определите, делятся ли на 99 числа: а) ; б) ; в) раз Решение. 99 = 11 9, 11 и 9 взаимно простые числа, значит, нам требуется проверить, делится ли каждое из приведённых чисел и на 9, и на а) , знакопеременная сумма цифр числа равна: = ; сумма цифр числа равна: = Значит, б) , знакопеременная сумма цифр = , значит, делимость на 9 можно даже не проверять, Итак,

31 + + в) Составим знакопеременную сумму: , раз цифры, стоящие на нечётных местах, берём со знаком плюс, а на нечётных со знаком минус. Тогда = Значит, раз 14 единиц 13 единиц Ответ: только Б26. Определите, какие числа делятся на нацело на 15: а) 3572; б) 81375; в) ; г) ; д) 67932; е) В22. Определите, делится ли число : а) на 4; б) на 3; 30 раз в) на 9; г) на 6; д) на 66. Г7. Определите, какие из данных чисел: 1) ; 2) ; 3) ; 4) делятся: а) на 6; б) на 12; в) на 15; г) на 36. Задача Число 15а делится 6. Верно ли, что число а делится на 6? Решение. Попробуем подобрать такое число а, что 15а 6, но а 6. Возьмем а = 2 получим:15а = 15 2 = 30 6, но а = 2 6. Значит, утверждение: «Если число 15а делится на 6, то число а делится на 6», вообще говоря, неверно. Попробуем разобраться, почему? 15 = 5 3. Чтобы 15а делилось на 6, достаточно, чтобы в разложении числа а на простые множители была бы хотя бы одна двойка: а = 2 k, тогда 15а = k = 6 5 k 6. А для того чтобы число а делилось на 6, оно должно иметь вид а = 6 k=2 3 k, т.е. в его разложении на простые множители должна быть хотя бы одна двойка и ОДНА ТРОЙКА! Поэтому если взять любое четное число а, НЕ ДЕЛЯЩЕЕСЯ на 3, например 4, 14, 100 и т.д., то 15а будет делиться 6, но число а делиться на 6 не будет. 31

32 Ответ: нет. А14. Верно ли, что если натуральное число делится: а) на 4 и на 5, то оно делится на 20; б) на 6 и на 8, то оно делится на 48? Б27. Определите, верны ли утверждения: а) если число делится на 3 и 8, то оно делится на 24; б) если число делится на 4 и 9, то оно делится на 36; в) если число делится на 4 и 6, то оно делится на 24; г) если число делится на 15 и 8, то оно делится на 120. Б28. Определите, верны ли утверждения: а) если число оканчивается цифрой 6, то оно делится на 6; б) если число делится на 6, то оно оканчивается цифрой 6. Может ли: в) нечётное число делиться на чётное число; г) чётное число делиться на нечётное? В23. Придумайте примеры, которые опровергают утверждения: а) если произведение двух натуральных чисел делится на некоторое число, то хотя бы одно из них делится на это число; б) если ни одно из двух натуральных чисел не делится на некоторое число, то и их произведение не делится на это число. В24. Определите, верно ли утверждение: если произведение нескольких сомножителей делится на 6, то хотя бы один из сомножителей делится на 6. Задача При каких п число делится на 33? 32 2 п цифр Решение. 33 = 3 11, значит, наше число должно делиться на 3 и 11. Начнём с деления на 11. На нечётных местах стоят семёрки, на чётных единицы. Находим знакопеременную сумму цифр числа: = 7п п= 6п. п раз п раз Число 6п должно делиться на 11: 6п 11. Теперь найдём сумму цифр нашего числа: = 7п+ п= 8п. п раз п раз

33 Число 8п должно делиться на 3: 8п 3. Подберем такое число п, чтобы одновременно выполнялись 6n= 11 k; два равенства: 8n= 3 l. Возьмём п = 33=3 11, тогда (6 33) =11 (6 3) 11 и (8 33) =3 (8 11) 3. Значит, п = 33 удовлетворяет условию задачи. Но можно взять и другое число, кратное 33, например, 33 2; 33 3, и т.д., то есть 33k, где k = 1, 2, 3 Ответ: п = 33k, где k = 1, 2, 3 В25. Найдите наименьшее число, которое записано только единицами и делится на 33. Г8. Найдите наименьшее число, которое записывается только цифрами 1 и 0 и делится на 225. Г9. Определите, сколько цифр в числе 11 11, если оно делится без остатка на Д1. При каких п число М = делится на 63? 2 п цифр Деление с остатком Если число а можно записать в виде а = b k + r, где r < b, то говорят, что а делится на b с остатком r; k называется неполным частным. Например: 23 = , где 23 делимое, 5 делитель, 4 неполное частное, 3 остаток. Записывается деление с остатком так: 23 : 5 = 4 (ост. 3). Заметим, что при делении на 2 остаток может быть равен только 1, так как в этом случае а = 2k + r, а r < 2. Значит, при делении на 2 возможны только два случая: либо число делится на 2 без остатка, и в этом случае а = 2k, либо в остатке получается 1, и а = 2k

34 Выражение а = 2k, где k = 0, 1, 2, ещё называется формулой чётного числа, а а = 2k + 1, где k = 0, 1, 2, называется формулой нечётного числа. При делении на 3 остаток может быть либо 1, либо 2. Это значит, что любое натуральное число либо делится без остатка на 3 (а = 3k), либо делится с остатком 1 (а = 3k + 1), либо делится с остатком 2 (а = 3k + 2). В общем случае при делении числа а на число b можно утверждать, что число а можно представить одной из следующих формул: а = b k (а b); а = b k + 1 (в остатке 1); а = b k + 2 (в остатке 2);.. а = b k + (b 1) (в остатке b 1). Задача Запишите формулу числа: а) кратного 17; б) дающего при делении на 11 остатки 1; 2; 7. Решение. а) Если число а делится на 17, то а = 17k, где k = 0, 1, 2 б) Если число а делится на 11 с остатком 1, то а = 11k + 1; аналогично: если остаток 2, то а = 11k + 2; если остаток 7, то а = 11k + 7. Ответ: а) а = 17k; б) а = 11k + 1; а = 11k + 2; а = 11k + 7. А15. Определите, формулами каких чисел являются равенства: а) а = 7п; б) а = 4п; в) а = 8п; г) а = 17п. А16. Запишите формулы чисел, делящихся: а) на 3; б) на 5; в) на 13. Б29. Два натуральных числа отличаются друг от друга на 1. Можно ли утверждать, что их произведение кратно 2? Б30. 1) Запишите формулу числа, которое при делении на 5 даёт в остатке: а) 1; б) 2. 2) Каким натуральным числом может оказаться остаток от деления на 5? 34

35 Задачи очень легкие Домашнее задание А17. Подберите по два значения х и у, чтобы выражение 2х + 3у делилось: а) на 7; б) на 13; в) на 100. А18. Верно ли утверждение: если каждое слагаемое не кратно числу а, то и вся сумма не кратна числу а? А19. Укажите несколько таких натуральных значений п, чтобы разность 130 п: а) делилась на 2; б) не делилась на 2; в) делилась на 13; г) не делилась на 13. А20. Назовите три числа, которые: а) делятся на 2; б) делятся на 5; в) делятся и на 2, и на 5; г) не делятся ни на 2, ни на 5. А21. Назовите: а) два чётных числа, кратных 5; б) два нечётных числа, кратных 5; в) два чётных числа, которые не делятся на 5; г) два нечётных числа, которые не делятся на 5. А22. Любое ли число, делящееся на 5, делится на 10? А23. Всегда ли запись числа, делящегося на 5, оканчивается цифрой 5? А24. Какой цифрой оканчивается запись числа, делящегося на 5, если оно: а) чётно; б) нечётно. Задачи лёгкие Б31. Делится ли на 8? Б32. Делится ли на 9? Б33. Разделите рационально на 6 произведения: а) 15 18; б) 94 30; в) 25 31; г) ; д) ; е) Б34. Докажите, что: а) (94 18) 3; б) ( ) 3; в) (40 70) 5; г) ( ) 5; д) (34 27) 17; е) (63 28) 7. Б35. Докажите, что значение выражения: а) делится на 17; б) делится на 37; в) делится на 50. Б36. a, b, k натуральные числа; (a b) k. Докажите, что: 2 2 а) ( a b ) k ; б) (a 3 b 3 ) k; в) (a 4 b 4 ) k. Б37. Верны ли утверждения: а) если сумма натуральных чисел делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число; 35

36 б) если одно из двух слагаемых делится на некоторое число, а другое нет, то и вся сумма не делится на это число; в) если вычитаемое делится на некоторое число, а уменьшаемое нет, то разность не делится на это число. Б38. Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы получить число, кратное 5: а) 378*; б) 25*5; в) 4*13? Б39. В числах: а) 7035*; б) 17209*5; в) 1111*0; г) 73245** замените звёздочки на цифры так, чтобы получились числа, кратные 25. Б40. Докажите, не выполняя вычислений, что: а) делится на 5; б) делится на 10; в) делится на 2. Б41. В числах: а) 45*6; б) 67239*; в) 5203**; г) ** замените звёздочки на цифры так, чтобы получились числа, кратные 4. Б42. Даны числа: а) 23075; б) 56700; в) ; г) 62835; д) , е) ; ж) укажите те, которые делятся: 1) на 2; 2) на 3; 3) на 4; 4) на 5; 5) на 9; 6) на 10; 7) на 25. Б43. 1) Запишите с помощью цифр 0, 4, 5, 3 два четырёхзначных числа, которые делятся: а) на 2; б) на 5; в) на 4; г) на 10. 2) Можно ли записать этими же цифрами число, которое делится: а) на 3; б) на 9? (Цифры не повторяются) Б44. Поставьте вместо звёздочек цифры так, чтобы число 30*0*03 делилось на 11. Б45. Разложите на простые множители: а) 14; б) 15; в) 28; г) 120; д) 144; е) 225; ж) Б46. Определите, какие пары чисел являются взаимно простыми: а) 24 и 102; б) 1001 и 86; в) 114 и 169; г) 225 и 81; д) 1000 и Б47. Число 5А делится на 3. Верно ли, что А делится на 3? Б48. Число А чётно. Верно ли, что 3А делится на 6? Б49. Даны числа: а) 241*; б) 1734*; в) 43*5. Какие цифры надо поставить вместо звездочек, чтобы числа делились без остатка на 15? Б50. Восстановите цифру b в числе 1bb2, которое делится на 8. Не производя деления, установите, делится ли полученное число на

37 Б51. Напишите общую формулу числа: а) чётного; б) кратного 5; в) нечётного; г) кратного 7; д) кратного 2 и 3. Задачи средней трудности В26. В каком случае два натуральных числа а и b таковы, что а делится на b и b делится на а? В27. Являются ли натуральными числами значения выражений: а) (3 5 7) : (3 7); в) ( ) : ( ); б) ( ) : ( ); г) ( ) : ( ). В28. Выполните деление: а) (45а + 60b) : 5; б) (99х 81у) : 9; в) (117т + 91) : 13; г) (152k 95) : 19. В29. Докажите, что значение выражения: а) делится на 41; б) делится на 31; в) делится на 7 и на 19; г) делится на 3 и на 37. В30. Докажите, что значение выражения: а) делится на 25; б) делится на 11; в) делится на 95; г) делится на 28. В31. Докажите, что значение выражения: а) кратно 45; б) кратно 555; в) кратно 267. В32. Докажите, что значение выражения: а) ( )( ) делится на 63; б) ( )(25 2 1) делится на 39. В33. Докажите, что значение выражения: а) делится на 30; б) делится на 24. В34. Докажите, что значение выражения: а) делится на 500; б) делится на 100. В35. Делится ли значение выражения: а) на 75; б) на 25? В36. Докажите, что ( ) 7. В37. Докажите, что ( ) 84. В38. Верны ли утверждения: а) если каждое слагаемое делится на 4, то сумма делится на 2; б) если каждое слагаемое делится на 2, то сумма делится на 4. В39. Верны ли утверждения: 37

38 а) если натуральное число т делится на число п, то т можно представить в виде разности натуральных чисел, каждое из которых делится на п; б) если натуральное число т кратно числу п, то т можно представить в виде суммы натуральных чисел, каждое из которых делится на п? В40. Определите: 1) значения каких выражений делятся на 11: а) ; г) 85 19; ж) ; б) ; д) ; з) ; в) ; е) ; и) ; 2) по какому признаку эти выражения распределены по трём столбцам. В41. Про целые числа а, b и с известно, что каждое из чисел a + b и a b делятся на с. Следует ли отсюда, что каждое из чисел а и b делится на с? В42. Автомат печатает на полоске бумаги цифры «4» по одной. Удастся ли остановить его так, чтобы было напечатано число, кратное 8? В43. Не производя действий и пользуясь признаками делимости, установите, какие из данных произведений будут делиться нацело и на 2, и на 3, и на 5 и на 9: а) ; ; ; ; б) ; ; ; В44. Укажите какое-нибудь четырёхзначное число: а) первая цифра которого 7, и оно делится на 3 и на 5, но не делится ни на 2, ни на 9; б) первая цифра которого 5, и оно делится на 3 и на 2, но не делится ни на 5, ни на 9. В45. Напишите три числа только с помощью: а) цифры 1, которые делятся на 3; б) цифры 6, которые делятся на 9. В46. Делятся ли числа 5742, 4356, 8712 и 1584 на 99? Найдите закономерность в записи этих чисел. Проверьте вывод на других примерах. В47. Даны выражения: а) ; б) ; в) ; г) ; д) Укажите выражение, значение которого: 1) является чётным числом; 2) кратно 25; 3) делится на 9; 4) делится на 4 и на 9; 5) делится на 10 и на 9; 6) делится на 5 и на 3. 38

39 В48. Число А не делится на 3. Может ли делиться на 3 число 2А? В49. Определите, верно ли, что: а) если а т и b п, то ab тп; б) если а b и b c, то a с. В50. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15. В51. К числу 10 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное 72. В52. Замените звёздочки цифрами так, чтобы число 72*3* делилось без остатка на 45. В53. Замените звёздочки цифрами так, чтобы число 2*4* делилось: а) на 15; б) на 36. В54. В числе b7483b замените b цифрой так, чтобы полученное число делилось на 6. Рассмотрите все возможные случаи. В55. Не выполняя деления, найдите остаток от деления числа: 1) на число: а) 2; б) 18; 2) на число: а) 2; б) 13; 3) на число: а) 2; б) 22; в) 11; 4) на число: а) 2; б) 14; в) 7. Задачи трудные Г10. Докажите, что: а) ( ) 157; б) ( ) 1911; в) ( ) 100; г) ( ) Г11. Докажите, что: а) кратно 10; б) кратно 9. Г12. Докажите, что ( ) 7, 11, 13. Г13. Верно ли, что если записать в обратном порядке цифры любого целого числа, то разность исходного и нового чисел будет делиться на 9? Г14. Из трёх различных цифр, отличных от нуля, составили всевозможные двузначные числа так, чтобы цифры в записи числа не повторялись. Докажите, что сумма всех полученных чисел делится на 22 независимо от исходного выбора цифр. Г15. Не выполняя действий, определите, делится ли: а) на 11; б) на 60. Г16. Сформулируйте и докажите признак делимости на 2 k, где k = 1, 2, 3 Г17. Сформулируйте и докажите признак делимости на 5 k, где k = 1, 2, 3 39